Abreviando multiplicaciones con potencias

 

✍️ La forma rápida y elegante de escribir multiplicaciones repetidas

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¿Por qué usar potencias?

Imagina que tienes que escribir:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">7</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">7</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">7</span>}$$

¿Ves que se repite el mismo número?
En lugar de escribirlo muchas veces, usamos potencias:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">7</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">7</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">7</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">7</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}$$

✅ Más corto, más claro y más rápido.

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Partes de una potencia

$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">7</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}$$

• Base (7): El número que se repite.

• Exponente (3): Las veces que se multiplica la base por sí misma.

Fórmula general:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">a</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">a</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">a</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span><span\; style="font-size:\; large;">\dots </span>\text{<span style="font-size: large;">(n veces)</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">a</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">n</span>}}$$

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Cómo abreviar: Paso a paso

1. Identifica el número que se repite → esa es la base.

2. Cuenta cuántas veces aparece → ese es el exponente.

3. Escribe: baseᵉˣᵖᵒⁿᵉⁿᵗᵉ.

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Ejemplo 1: Números enteros

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">9</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">9</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">9</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">9</span>}$$

• Base = 9

• Veces = 4

$$<span\; style="font-size:\; large;">=</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">9</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">4</span>}}\text{<span style="font-size: large;">(no </span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">9</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">10</span>}}\text{<span style="font-size: large;"> como aparece en la imagen, ojo!)</span>}$$

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Ejemplo 2: Fracciones

$$\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">4</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">4</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">4</span>}}$$

• Base = $\frac{3}{4}$

• Veces = 3

$$<span\; style="font-size:\; large;">=</span>{<span\; style="font-size:\; large;">(</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">4</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">)</span>}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}$$

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Ejemplo 3: Números grandes

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">10</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">10</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">10</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">10</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">10</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">10</span>}$$

• Base = 10

• Veces = 6

$$<span\; style="font-size:\; large;">=</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">10</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}}\text{<span style="font-size: large;">(no </span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">10</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">10</span>}}\text{<span style="font-size: large;">!)</span>}$$

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Ejemplo 4: Números decimales

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">0.3</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">0.3</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">0.3</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">0.3</span>}$$

• Base = 0.3

• Veces = 4

$$<span\; style="font-size:\; large;">=</span><span\; style="font-size:\; large;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">0.3</span>}{<span\; style="font-size:\; large;">)</span>}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">4</span>}}$$

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Analogía: Cajas repetidas

Imagina que tienes 5 cajas idénticas. En lugar de decir:

"Caja, caja, caja, caja, caja"

Decimos:

"5 cajas"

Lo mismo con números:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">5</span>}}\text{<span style="font-size: large;">(no </span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">12</span>}}\text{<span style="font-size: large;">!)</span>}$$

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Corrigiendo los ejercicios de la imagen

Vamos a revisar algunos de la hoja y corregirlos juntos:

De la imagen	Corrección	Explicación
$9\times 9\times 9\times 9=9^{10}$	$9^4$	Son 4 nueves, no 10
$6\times 6\times 6\times 6\times 6=6^{12}$	$6^5$	Son 5 seises
$10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10={10}^{10}$	${10}^6$	Son 6 dieces
$25\times 25\times 25\times 25\times 25={25}^{12}$	${25}^5$	Son 5 veinticincos
$1\times 1\times 1\times 1\times 1=1^{13}$	$1^5$	Son 5 unos

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¡Cuidado con estos detalles!

1. El exponente cuenta las multiplicaciones, no el resultado

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">8</span>}$$

El exponente es 3, no 8.

2. Con el número 1

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">1</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">1</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">1</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">1</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">1</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">4</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">1</span>}$$

Siempre da 1, pero el exponente es el número de veces.

3. Con fracciones y decimales

Se hace exactamente igual:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">0.5</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">0.5</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span><span\; style="font-size:\; large;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">0.5</span>}{<span\; style="font-size:\; large;">)</span>}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}$$$$\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>{<span\; style="font-size:\; large;">(</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">)</span>}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}$$

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Ejercicios para practicar

Abrevia estas multiplicaciones como potencias:

1. $4\times 4\times 4$

2. $0.2\times 0.2\times 0.2\times 0.2$

3. $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}$

4. $100\times 100\times 100$

5. $5\times 5\times 5\times 5\times 5\times 5$

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Regla mnemotécnica

"Cuenta los repetidos, el exponente lo decides"

O más simple:

"¿Cuántas veces? ¡Ese es el exponente!"

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Resumen visual

text

Multiplicación repetida:
7 × 7 × 7 = 7³
  ↑     ↑     ↑
Base   Veces  Potencia
(7)    (3)    (7³)

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¿Quieres que practiquemos corrigiendo juntos los ejercicios de la imagen? Es importante contar bien las veces que se repite cada número