División de potencias con la misma base

 

✨ Fácil, claro y para siempre en tu memoria ✨

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¿Qué es una potencia?

Imagina que tienes que escribir muchas veces la misma multiplicación.
Por ejemplo:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}$$

Es largo, ¿verdad? Entonces usamos potencias:

$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">4</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">16</span>}$$

• Base = el número que se repite (en este caso, 2)

• Exponente = las veces que se repite (en este caso, 4)

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La clave: misma base

Solo podemos usar las reglas fáciles cuando las potencias tienen la misma base.
Ejemplo:

$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">5</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">÷</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">5</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}\text{<span style="font-size: large;">✅ misma base (5)</span>}$$$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">4</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">÷</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}\text{<span style="font-size: large;">❌ bases distintas (3 y 2)</span>}$$

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Regla mágica: ¡RESTA los exponentes!

Cuando divides potencias con la misma base:

1. La base queda igual

2. Los exponentes se RESTAN

Fórmula:

$$\frac{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">a</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">m</span>}}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">a</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">n</span>}}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">a</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">m</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">n</span>}}$$

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Ejemplo superfácil

$$\frac{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">5</span>}}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}}$$

1. Base = 3 (queda igual)

2. Exponentes: $5-2=3$

3. Resultado: $3^3=3\times 3\times 3=27$

✅ ¡Listo!

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¿Por qué funciona?

Vamos a verlo paso a paso con un ejemplo visual:

$$\frac{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">4</span>}}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}$$

Al dividir, podemos cancelar los factores iguales arriba y abajo:

$$\frac{\cancel{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\cancel{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}{\cancel{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\cancel{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}$$

¡Y $4-2=2$! Por eso restamos exponentes.

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Analogía: Cajas de galletas

Imagina que tienes 4 cajas y en cada caja hay 2 galletas.

$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">4</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">16</span>}\text{<span style="font-size: large;"> galletas</span>}$$

Si regalas 2 cajas (es decir, divides entre $2^2$):

Te quedan $4-2=2$ cajas, o sea:

$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">4</span>}\text{<span style="font-size: large;"> galletas</span>}$$

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Ejercicios para practicar

Resuelve usando la regla de restar exponentes:

1. $\frac{5^6}{5^4}$

2. $\frac{{10}^3}{{10}^1}$

3. $\frac{7^8}{7^5}$

4. $\frac{2^5}{2^2}$

5. $\frac{9^4}{9^4}$ (¡ojo! aquí los exponentes son iguales)

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Casos especiales

1. Exponentes iguales

$$\frac{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">a</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">m</span>}}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">a</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">m</span>}}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">a</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">m</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">m</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">a</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">0</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">1</span>}$$

Cualquier número (excepto 0) elevado a 0 es 1.

2. Exponente negativo

Si restas y queda negativo:

$$\frac{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">5</span>}}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">5</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}^{<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">1</span>}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}}$$

(¡Eso lo verás más adelante!)

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Recuerda con esta frase:

"Misma base, resta y pasa"
(Misma base → restas exponentes → la base pasa igual)

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Resumen visual

text

División de potencias:
     5⁴
    ---- = 5⁴⁻² = 5²
     5²
    
Base igual ✅ → Exponentes se restan ✅