Potencias al cuadrado y su forma desarrollada

 

📚 De la forma abreviada a la multiplicación paso a paso

---

¿Qué significa "elevar al cuadrado"?

"Elevar al cuadrado" es una forma especial de potencia donde el exponente es 2.
Significa multiplicar el número por sí mismo una vez.

$${\text{<span style="font-size: large;">n</span>}\stackrel{<span\; style="font-size:\; large;">ˊ</span>}{\text{<span style="font-size: large;">u</span>}}\text{<span style="font-size: large;">mero</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\text{<span style="font-size: large;">n</span>}\stackrel{<span\; style="font-size:\; large;">ˊ</span>}{\text{<span style="font-size: large;">u</span>}}\text{<span style="font-size: large;">mero</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\text{<span style="font-size: large;">n</span>}\stackrel{<span\; style="font-size:\; large;">ˊ</span>}{\text{<span style="font-size: large;">u</span>}}\text{<span style="font-size: large;">mero</span>}$$

¿Por qué se llama "al cuadrado"?
Porque si dibujas un cuadrado y mides su área (lado × lado), estás usando un número multiplicado por sí mismo.

---

Partes de una potencia al cuadrado

Ejemplo: $5^2$

• Base: 5 (el número que se multiplica)

• Exponente: 2 (indica "al cuadrado")

• Forma desarrollada: $5\times 5$

• Resultado: 25

---

Cómo pasar de la potencia a la forma desarrollada

Paso 1: Identifica la base y el exponente

Ejemplo: ${12}^2$

• Base = 12

• Exponente = 2

Paso 2: Escribe la multiplicación repetida

$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">12</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">12</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">12</span>}$$

(El exponente 2 significa "dos veces el 12 multiplicándose")

Paso 3: Resuelve la multiplicación

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">12</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">12</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">144</span>}$$

---

Tabla de cuadrados (como en la imagen)

Vamos a completar la tabla que comenzaste:

Potencia	Forma desarrollada	Resultado
$0^2$	$0\times 0$	0
$1^2$	$1\times 1$	1
$2^2$	$2\times 2$	4
$3^2$	$3\times 3$	9
$4^2$	$4\times 4$	16
$5^2$	$5\times 5$	25
$6^2$	$6\times 6$	36
$7^2$	$7\times 7$	49
$8^2$	$8\times 8$	64
$9^2$	$9\times 9$	81
${10}^2$	$10\times 10$	100
${11}^2$	$11\times 11$	121
${12}^2$	$12\times 12$	144
${13}^2$	$13\times 13$	169
${14}^2$	$14\times 14$	196
${15}^2$	$15\times 15$	225

---

Analogía: Área de un cuadrado

Imagina un cuadrado con lado de 4 cm:

• Área = lado × lado = $4\times 4=16{\text{cm}}^2$

• Esto es exactamente $4^2=16$

Lo mismo con un cuadrado de lado 10 cm:

• $10\times 10=100{\text{cm}}^2$

• ${10}^2=100$

Cada potencia al cuadrado es el área de un cuadrado con ese lado.

---

Patrones curiosos en los cuadrados

1. Cuadrados de números terminados en 5:

   $${\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">15</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">225</span>}<span\; style="font-size:\; large;">(</span>\text{<span style="font-size: large;">1×2=2 y a</span>}\stackrel{<span\; style="font-size:\; large;">˜</span>}{\text{<span style="font-size: large;">n</span>}}\text{<span style="font-size: large;">ades 25</span>}<span\; style="font-size:\; large;">)</span>$$$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">25</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">625</span>}<span\; style="font-size:\; large;">(</span>\text{<span style="font-size: large;">2×3=6 y a</span>}\stackrel{<span\; style="font-size:\; large;">˜</span>}{\text{<span style="font-size: large;">n</span>}}\text{<span style="font-size: large;">ades 25</span>}<span\; style="font-size:\; large;">)</span>$$

2. Diferencia entre cuadrados consecutivos:

   $${\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">4</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">16</span>}<span\; style="font-size:\; large;">,</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">5</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">25</span>}\text{<span style="font-size: large;">diferencia</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">9</span>}$$

   La diferencia va aumentando de 2 en 2: 1, 3, 5, 7, 9, 11...

---

Ejercicios para practicar

Parte 1: De potencia a forma desarrollada

Escribe la forma desarrollada de:

1. $8^2$

2. $9^2$

3. ${20}^2$

4. ${50}^2$

Parte 2: De forma desarrollada a potencia

Escribe como potencia:

1. $7\times 7$

2. $100\times 100$

3. $0.5\times 0.5$

4. $\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}$

Parte 3: Calcula los resultados

Usa la tabla como referencia y calcula:

1. ${16}^2$

2. ${17}^2$

3. ${18}^2$

---

Trucos para recordar cuadrados

• Del 1 al 10: Apréndelos de memoria (son básicos).

• Del 11 al 15: Practica con la tabla de arriba.

• Del 11 al 19: Usa la fórmula mental:

  $${\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">n</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span><span\; style="font-size:\; large;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">n</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">10</span>}{<span\; style="font-size:\; large;">)</span>}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">+</span><span\; style="font-size:\; large;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">n</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">10</span>}<span\; style="font-size:\; large;">)</span><span\; style="font-size:\; large;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">20</span>}<span\; style="font-size:\; large;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">100</span>}$$

  Ejemplo: ${13}^2=3^2+3\times 20+100=9+60+100=169$

---

¿Por qué es importante aprender esto?

1. Ahorra tiempo: En lugar de multiplicar $15\times 15$ cada vez, sabes que es $225$.

2. Álgebra futura: Las potencias son la base para ecuaciones y fórmulas.

3. Geometría: Calculas áreas de cuadrados fácilmente.

4. Problemas cotidianos: Si un terreno es cuadrado de 12 m por lado, su área es $144{\text{m}}^2$.

---

Resumen visual

text

Potencias al cuadrado:

Forma abreviada → Forma desarrollada → Resultado
    4²        →     4 × 4       →     16
    10²       →     10 × 10     →     100
    15²       →     15 × 15     →     225

Regla fácil:

"Número al cuadrado = número × número"

---

¿Quieres que practiquemos completando más cuadrados o resolviendo problemas con áreas?